Beim typischen Räuber-Beute-Problem gibt es eine Beute, die sich ohne Räuber nach dem logistischen Wachstum vermehren würde. Das heißt, anfangs wächst die Population exponentiell, da mehr Tiere sich auch mehr vermehren. Da aber nicht beliebig viel Lebensraum bzw. Nahrung vorhanden ist, ist diesem Wachstum eine Grenze gesetzt. Die Vermehrung hängt also auch vom Grenzbestand ab.
Die Zunahme der Beute (Hasen) wird also durch die typische Differenzengleich
Hasenzunahme:=(Grenzbestand-Hasen)*Hasen*Faktor
beschrieben.
Im grafischen Modell:
Auch die Räuber (Füchse) vermehren sich nach dem logistischen Wachstum. Nur hängt ihr Grenzbestand vom Futter also von den vorhandenen Hasen ab. Wir brauchen also nur in obiger Gleichung den Grenzbestand zu ersetzen:
Fuechsezunahme:=(Faktor*Hasen-Fuechse)*Fuechse*Faktor
Im grafischen Modell muß statt der Konstanten Grenzbestand ein Wirkungspfeil von der Zustandsgröße Hasen verknüpft mit einem konstanten Faktor gesetzt werden.
Zuletzt nimmt die Beute aber auch ab und zwar umso mehr, je mehr Räuber und je mehr Beute vorhanden ist. Es gilt also:
Hasenabnahme:=Hasen*Fuechse*Faktor
Damit ist das Modell fertig.
Die Wahl der Startwerte und vor allem der Faktoren beeinflußt das Verhalten des Systems erheblich.
Gehen Sie von folgenden Startwerten aus:
Grenzbestand der Hasen: 1000
Anfangsbestand der Hasen: 200
Wachstumsfaktor der Hasen:0,001
Anfangsbestand der Füchse:10
Verhältnis Grenzbestand der Füchse zu Hasenbestand:0,25
Wachstumsfaktor der Füchse:0,0025
Abnahmefaktor der Hasen:0,04
Durch Veränderung der Werte können Sie prinzipiell verschiedene Ergebnisse erhalten.
Tragen Sie den Hasen- und Fuchsbestand über der Zeit auf (Füchse evtl. skalieren) und auch den Fuchsbestand über dem Hasenbestand (Phasendiagramm).